Летают, и с отапливаемым, и собак берут без сопровождения. По крайней мере из Москвы в КЗ точно. Только деньги нереальные пытаются содрать.
А какой борт был? В Астану у них только аэробусы А320 летают, в них нет отапливаемого отсека в принципе. Конструктивно не предусмотрен. Поэтому крупных собак не берут из Москвы в Астану, их девать некуда.