Автобусы из Екатеринбурга в Костанай ходят постоянно (если не ошибаюсь с «Южного»- автовокзала). Утром около 10.20 и один рейс (иногда два в зависимости от сезона) вечером около 22.00. Время в пути порядка 10 часов (В зависимости от прохождения таможни).
А с автовокзала на автобусе можно или на такси, но не берите такси со стоянки очень дорого .
За такси максимум платите 100р. Да и то, потому что вы с кошкой будете и багажом.